Kamis, 13 Oktober 2011

Persamaan Linear & Matriks



Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
\begin{bmatrix}
3 & 4 & -2 & 5\\
1 & -5 & 2 & 7\\
2 & 1 & -3 & 9\\
\end{bmatrix}
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

[sunting]Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks


[sunting]Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & -8 & 8\\
\end{bmatrix}
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & 1 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5\\
0 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 6\\
\end{bmatrix}

[sunting]Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
1 & 3 & 2 & 9\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix}
Operasikan Matriks tersebut
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & -3 & 0 & 0\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 3 & 9\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 3\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Tidak ada komentar:

Posting Komentar